2025년도 동국대학교 모의논술

모의논술고사 문제 문항카드(자연계열)

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1. 일반 정보

유형	■ 논술고사 □ 면접 및 구술고사
전형명	2025년도 모의논술
해당 대학의 계열(과목) / 문항번호	자연계열 / 문제1
출제 범위	수학과 교육과정 과목명	수학, 수학II, 미적분, 기하
	핵심개념 및 용어	타원, 삼각형의 넓이, [eqn: y]축 대칭, 최댓값
예상 소요 시간	27분 / 전체 90분

2. 문항 및 제시문

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

【가】 두 초점 [eqn: rmF it(c,0)], [eqn: rmF' it(-c,0)]에서의 거리의 합이 [eqn: 2a]([eqn: a > c > 0])인 타원의 방정식은

[eqn: {x^2} over {a^2 } + {y^2} over { b^2} `=` 1]   (단, [eqn: b ^{2} =a ^{2} -c ^{2}])

-『고등학교 기하』

【나】 점 [eqn: rmP it (x,y)]를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmP _1]의 좌표는 [eqn: (x,-y)], [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmP_2]의 좌표는 [eqn: (-x,y)], 원점에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmP_3]의 좌표는 [eqn: (-x,-y)] 이다.

-『고등학교 수학』

【다】 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 극값을 가지면 [eqn: f'(a)=0]이다.

-『고등학교 수학 II』

【라】 두 함수 [eqn: y = f(u)], [eqn: u = f(x)]가 미분가능할 때, 합성함수 [eqn: y = f(g(x))]의 도함수는

[eqn: {dy} over {dx} = {dy} over {du} times {du} over {dx}] 또는 [eqn: left{ f(g(x))right}' = f'(g(x)) g'(x)]

-『고등학교 미적분』

【마】[eqn: n]이 실수일 때, [eqn: ` y = x^n] ([eqn: x > 0]) 이면

[eqn: y' = n x^{n-1}]

-『고등학교 미적분』

[문제1] 장축의 길이가 [eqn: 2]이고 단축의 길이가 [eqn: 1]인 타원이 주어졌다. 타원에서 한 점 [eqn: rmP]을 잡고 그 점을 장축에 의하여 대칭한 점 [eqn: rmQ]를 잡자. 타원에서 또다른 점 [eqn: rmR]을 잡아서 만든 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이의 최댓값을 구하시오.

3. 출제의도

이차곡선, 특히 타원의 형태와 식을 이해하고 도형의 대칭이동에 대하여 이해하는지 확인한다. 적절히 기하학적 모형에 대한 식을 세우고 미분을 통하여 최대값을 찾을 수 있는지 평가한다.

4. 출제근거

가) 적용 교육과정 및 학습내용 성취 기준

적용 교육과정	수학 (2) 기하 □ 도형의 이동 수학II (2) 미분 □ 도함수의 활용 미적분 (2) 미분법 □ 여러 가지 미분법 기하 (1) 이차곡선 □ 이차곡선
문항 및 제시문	학습내용 성취 기준
성취기준	[10수학02-09] 원점, [eqn: x]축, [eqn: y]축, 직선 [eqn: y=x]에 대한 대칭이동의 의미를 이해한다. [12수학Ⅱ02-08] 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 판정하고 설명할 수 있다. [12미적02-07] 합성함수를 미분할 수 있다. [12기하01-02] 타원의 뜻을 알고, 타원의 방정식을 구할 수 있다.

나) 자료출처

참고자료	도서명	저자	발행처	발행년도	쪽수
고등학교 교과서	고등학교 수학	권오남 외 14인	교학사	2020	147
	고등학교 수학 II	이준열 외 9인	천재교육	2020	87
	고등학교 미적분	고성은 외 5인	좋은책 신사고	2020	81, 83
	고등학교 기하	황선욱 외 8인	미래엔	2020	29

5. 문항해설

1. 문제에서 제시된 타원의 방정식을 적절하게 축을 잡아서 찾는다.

2. 장축이 [eqn: x]축인 타원을 주어진 경우 점 [eqn: rmP]와 그 점의 [eqn: x]축 대칭점 [eqn: rmQ]을 찾는다.

3. 주어진 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이가 최대가 되도록 [eqn: rmR]을 장축과 타원의 교점임을 보인다.

4. 이 경우 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이의 식을 구한다.

5. 미분을 통하여 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이의 최대값을 구한다.

6. 평가기준

[단계 1] 장축이 [eqn: x]축이 되도록 타원을 잡으면 제시문【가】에 의하여 이 타원의 방정식은 [eqn: x^{2}+4y ^{2} =1] 이다.

[단계 2] 타원의 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: ( alpha , beta )]라고 하자. 점 [eqn: rmP]를 장축인 [eqn: x]축에 의하여 대칭한 점 [eqn: rmQ]의 좌표는 제시문 【나】에 의하여 [eqn: (alpha , - beta )]이므로 각각의 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이가 최대가 되는 점 [eqn: rmR]의 위치는 직선 [eqn: rmPQ], 즉 직선 [eqn: x= alpha]까지 거리가 가장 먼 점이다. 따라서 [eqn: alpha GEQ 0]이면 [eqn: rm R it (-1,0)]인 경우 [eqn: alpha <0]인 경우 [eqn: rm R it (1,0)]인 경우 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이가 최대가 된다.

[단계 3] 이 때, 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이 [eqn: S]는 [eqn: {1} over {2} vert 2 beta vert (1+ vert alpha vert )= vert beta vert (1+ vert alpha vert )= vert beta vert (1+ sqrt {1-4 beta ^{2}} )]이다. 대칭에 의하여 [eqn: 0< beta < 1 over 2] 인 경우만 생각하면 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이는 [eqn: S= beta (1+ sqrt {1-4 beta ^{2}} )] 이다.

[단계 4] 극값을 찾기 위하여 [eqn: S]를 [eqn: beta]로 미분하면 [eqn: {dS} over {d beta } =1+ sqrt {1-4 beta ^{2}} - {4 beta ^{2}} over {sqrt {1-4 beta ^{2}}} = {sqrt {1- 4beta ^{2}} +1-8 beta ^{2} } over {sqrt {1-4 beta ^{2}}] 이고 [eqn: {dS} over {d beta } = 0]이라고 놓으면 [eqn: sqrt {1- 4 beta ^{2}} =8 beta ^{2} -1]이다. 제곱하여 한쪽으로 정리하면 [eqn: beta ^{2} (16 beta ^{2} -3)=0]을 얻는다. 따라서 [eqn: alpha ={1} over 2], [eqn: beta = {sqrt {3}} over {4}]일 때, 최댓값을 가지고 삼각형 [eqn: rmPQR]의 최대 넓이는 [eqn: {3 sqrt {3}} over {8}]이다.

	채점 기준	배점
상	[1단계]부터 [4단계]까지 모든 단계를 논증이 매끄럽게 작성한 경우	S
	[1단계]부터 [4단계]까지 모두 작성하고 세 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	A
중	[1단계]부터 [4단계]까지 모두 작성하고 두 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	B
	[1단계]부터 [4단계] 중 세 단계를 작성하고 두 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	C
	[1단계]부터 [4단계] 중 두 단계를 작성하고 한 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	D
하	[1단계]부터 [4단계] 중에서 어느 한 단계만 작성한 경우	E
	어느 단계의 일부분도 논증이 매끄럽게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우	F

7. 예시답안

장축이 [eqn: x]축이 되도록 타원을 잡으면 제시문【가】에 의하여 이 타원의 방정식은 [eqn: x^{2}+4y ^{2} =1] 이다. 타원의 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: ( alpha , beta )]라고 하자. 점 [eqn: rmP]를 장축인 [eqn: x]축에 의하여 대칭한 점 [eqn: rmQ]의 좌표는 제시문【나】에 의하여 [eqn: (alpha , - beta )]이므로 각각의 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이가 최대가 되는 점 [eqn: rmR]의 위치는 직선 [eqn: rmPQ], 즉 직선 [eqn: x= alpha]까지 거리가 가장 먼 점인 [eqn: (1,0)] 또는 [eqn: (-1,0)]이다. 따라서 [eqn: alpha GEQ 0]이면 [eqn: rm R it (-1,0)], [eqn: alpha <0]인 경우 [eqn: rm R it (1,0)]일 때, 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이가 최대가 된다. 이 경우 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이 [eqn: S]는 [eqn: {1} over {2} vert 2 beta vert (1+ vert alpha vert )= vert beta vert (1+ vert alpha vert )= vert beta vert (1+ sqrt {1-4 beta ^{2}} )] 이다. 대칭에 의하여 [eqn: 0< beta < 1 over 2]인 경우로 생각하면 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이는 [eqn: S= beta (1+ sqrt {1-4 beta ^{2}} )] 이다. 넓이 [eqn: S]를 [eqn: beta]로 미분하면 제시문【라】와 제시문【마】에 의하여 [eqn: {dS} over {d beta } =1+ sqrt {1-4 beta ^{2}} - {4 beta ^{2}} over {sqrt {1-4 beta ^{2}}} = {sqrt {1- 4beta ^{2}} +1-8 beta ^{2} } over {sqrt {1-4 beta ^{2}}] 이고 극값을 찾기 위하여 제시문【다】에 의해 [eqn: {dS} over {d beta } =0]으로 놓으면 [eqn: sqrt {1- 4 beta ^{2}} =8 beta ^{2} -1]이다. 제곱하여 정리하면 [eqn: beta ^{2} (16 beta ^{2} -3)=0]을 얻는다. 따라서 [eqn: alpha ={1} over 2], [eqn: beta = {sqrt {3}} over {4}]일 때, 최댓값을 가지고 삼각형 [eqn: rmPQR]의 최대 넓이는 [eqn: {3 sqrt {3}} over {8}]이다.

2025년도 동국대학교 모의논술

모의논술고사 문제 문항카드(자연계열)

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1. 일반 정보

유형	■ 논술고사 □ 면접 및 구술고사
전형명	2025년도 모의논술
해당 대학의 계열(과목) / 문항번호	자연계열 / 문제2
출제 범위	수학과 교육과정 과목명	확률과 통계
	핵심개념 및 용어	배반사건, 독립사건, 확률의 덧셈정리, 확률의 곱셈정리
예상 소요 시간	27분 / 전체 90분

2. 문항 및 제시문

【가】 표본공간 [eqn: S]의 사건 [eqn: A, B]에 대하여

[eqn: P(A unionB)=P(A)+P(B)-P(A interB)]

사건 [eqn: A, B]가 서로 배반사건이면

[eqn: P(A unionB)=P(A)+P(B)]

-『고등학교 확률과 통계』

【나】 두 사건 [eqn: A, B]에 대하여

[eqn: P(A interB)=P(A)P(B~|A)]   (단, [eqn: P(A) ne 0])

[eqn: P(A interB)=P(B)P(A~|B)]   (단, [eqn: P(B) ne 0])

-『고등학교 확률과 통계』

【다】 두 사건 [eqn: A, B]가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은

[eqn: P(A inter B)=P(A)P(B)]   (단, [eqn: P(A) ne 0,~~P(B) ne0])

-『고등학교 확률과 통계』

[문제2] 철수는 한 변의 길이가 [eqn: 550]mm인 정사각형의 표적지에 사격을 한다. 표적지에는 표적지 중심을 기준으로 반지름이 [eqn: 25]mm부터 [eqn: 25]mm씩 증가하는 동심원이 [eqn: 10]개 그려져 있다. 탄착점의 중심을 포함하는 원의 개수를 점수로 하되, 탄착점의 중심이 원의 경계를 맞힌 경우도 그 원에 포함된 것으로 한다. 표적지를 맞췄을 때, 얻게 될 점수의 확률은 표적지 전체 면적 대비 해당 점수가 나오는 영역의 면적 비율로 한다. 과거 사격 기록에 의하면 철수는 표적지를 못 맞추는 비율이 [eqn: 19]%였다. 철수가 [eqn: 3]발을 사격 했을 때, 총점이 [eqn: 29]점 이상일 확률을 각각 제시문을 이용하여 설명하고 구하시오. 단, 각각의 사격은 모두 독립이다.

3. 출제의도

문제에서 요구하는 사건을 확률 산정이 가능한 개개의 사건들로 정리하고, 확률의 덧셈정리 및 곱셈정리를 이용하여 문제의 해를 구한다.

4. 출제근거

가) 적용 교육과정 및 학습내용 성취 기준

적용 교육과정	확률과 통계 (2) 확률 (가) 확률의 뜻과 활용 확률과 통계 (2) 확률 (나) 조건부확률
문항 및 제시문	학습내용 성취 기준
성취기준	[12확통02-03] 확률의 덧셈정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다. [12확통02-06] 사건의 독립과 종속의 의미를 이해하고, 이를 설명할 수 있다. [12확통02-07] 확률의 곱셈정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

나) 자료출처

참고자료	도서명	저자	발행처	발행년도	쪽수
고등학교 교과서	고등학교 확률과 통계	박교식 외 19인	동아출판사	2020	51
	고등학교 확률과 통계	고성은 외 5인	좋은책 신사고	2020	60, 64

5. 문항해설

문제에서 철수가 표적지를 맞췄을 때만 점수가 산정되고 그 확률함수가 표적지 면적 대비 해당영역의 비율로 산정된다. 이러한 이유로 제시문 나)에 의해 철수가 특정 점수를 얻을 확률은 표적지를 맞출 확률과 표적지를 맞췄을 때 특정 점수를 얻을 조건부확률의 곱으로 구한다.

각각의 사격은 모두 독립이므로 제시문 다)에 의해 첫 번째 사격, 두 번째 사격, 세 번째 사격의 취득점수의 확률을 각각 곱하여 3발 사격의 결과에 대한 확률을 구한다.

3발의 총점이 29점 이상인 3발의 사격 결과를 나열하고 각각의 경우는 서로 배반이므로 제시문 가)에 의해 각 경우의 확률의 합으로 철수의 3발 총점이 29점 이상일 확률을 구한다.

6. 평가기준

[단계 1] 3발 사격의 점수를 순서대로 나열하여 [eqn: (a,b,c)]와 같이 표현하면, 총점이 29점 이상인 경우는 (10,10,10), (10,10,9), (10,9,10), (9,10,10)로 표현할 수 있다. 이들은 서로 배반사건이기 때문에 제시문 가)에 의해 총점 29점 이상의 확률은 각각의 경우의 확률들의 합으로 구한다.

[단계 2] 3발 각각의 사격은 독립이므로 각 사격은 독립이다. 제시문 다)에 의해 각 사격 점수의 확률들의 곱으로 3발 사격 결과의 확률을 구한다.

[단계 3] 1발의 사격 점수가 10점일 확률은 철수가 표적지를 맞출 확률 [eqn: p_0 =1-0.19=0.81]에 표적지를 맞췄을 때 10점이 될 확률은 표적지 넓비 대비 가장 작은 동심원의 면적비와 같으므로 [eqn: p_1 ={25^2 pi}over{550^2}= pi over {22^2}]이 된다. 따라서 제시문 나)에 의해 철수가 10점을 받을 확률은 [eqn: 0.81p_1 ={0.81 pi}over 22^2}]이다.

[단계 4] 1발의 사격 점수가 9점일 확률은 철수가 표적지를 맞출 확률 [eqn: p_0 =1-0.19=0.81]에 표적지를 맞췄을 때 10점이 될 확률은 표적지 넓비 대비 가장 작은 동심원과 두 번째로 작은 동심원 사이의 면적비와 같으므로 [eqn: p_2 ={50^2 pi}over{550^2}-{25^2 pi}over{550^2}= {3pi} over {22^2}]이 된다. 따라서 제시문 나)에 의해 철수가 9점을 받을 확률은 [eqn: 0.81p_2 ={2.43 pi}over 22^2}]이다.

[단계 5] 1, 2 단계에서 제시한 방법으로 3, 4 단계에서 구한 확률을 이용하여 철수가 3발 총합이 29점 이상일 확률은 다음과 같이 구한다.

[eqn: (0.81p_1 )^3 + 3(0.81p_1 )^2 times (0.81p_2 )=0.81^3 p_1^2 (p_1 +3p_2 )=0.81^3 left( pi over{22^2} right)^2 left( 10pi over{22^2} right)=10pi^3 left(9 over 220 right)^6]

하위문항	채점 기준	배점
	[1단계]부터 [5단계]까지 모든 단계를 논증이 매끄럽게 작성한 경우	S
	[1단계]부터 [5단계]까지 모두 작성하고 네 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	A
	[1단계]부터 [5단계] 중 네 단계를 작성하고 세 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	B
	[1단계]부터 [5단계] 중 세 단계를 작성하고 두 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	C
	[1단계]부터 [5단계] 중 두 단계를 작성하고 한 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	D
	[1단계]부터 [5단계] 중에서 어느 한 단계만 작성한 경우	E
	어느 단계의 일부분도 논증이 매끄럽게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우	F

7. 예시답안

3발의 총점이 29점 이상인 경우는 사격 순서대로 점수를 나열하면 (10,10,10), (10,10,9), (10,9,10), (9,10,10)와 같이 4가지 경우의 사건으로 표현할 수 있고 이들 사건은 서로 배반이다..

철수가 1발의 사격에서 10점과 9점을 받는 사건을 정의하기 위해서 ‘철수가 표적지를 맞추는 사건’ [eqn: A],  ‘1발의 사격에서 10점을 받을 사건’ [eqn: B_1], ‘1발의 사격에서 9점을 받을 사건’ [eqn: B_2]를 먼저 정의한다. 그리고 철수가 1발의 사격에서 10점과 9점을 받는 사건은 각각 [eqn: A inter B_1], [eqn: A inter B_2]로 정리한다.

1발의 사격에서 표적지를 맞췄을 때 10점과 9점을 받을 확률은 각각 [eqn: P(B_1 ~|A)=p_1 ={25^2 pi}over{550^2}= pi over 22^2]와  [eqn: P(B_2 ~|A)=p_2 ={50^2 pi-25^2 pi}over{550^2}={3pi}over{22^2}]이 된다.

따라서 제시문 나)에 의해 철수가 1발 사격에서 10점과 9점을 받을 확률은 각각 [eqn: P(A inter B_1 )=P(A) P(B_1~ |A)=0.81 timesp_1], [eqn: P(A inter B_2 )=P(A) P(B_2~ |A)=0.81 timesp_2]이 된다.

3발의 사격은 각각 독립이므로 그 점수가 (10,10,10), (10,10,9), (10,9,10), (9,10,10)인 경우의 확률은 제시문 다)에 의해 각각 [eqn: (0.81p_1 )^3 ,~ (0.81p_1 )^2 times (0.81p_2 ),~ (0.81p_1 )^2 times (0.81p_2 ),~ (0.81p_1 )^2 times (0.81p_2 )]이 된다.

그러므로 제시문 가)에 의해 3발의 사격에서 철수가 29점 이상 받을 확률은 이들의 합과 같다.

[eqn: (0.81p_1 )^3 + 3(0.81p_1 )^2 times (0.81p_2 )=0.81^3 p_1^2 (p_1 +3p_2 )=0.81^3 left( pi over{22^2} right)^2 left( 10pi over{22^2} right)=10pi^3 left(9 over 220 right)^6]

2025년도 동국대학교 모의논술

모의논술고사 문제 문항카드(자연계열)

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1. 일반 정보

유형	■ 논술고사 □ 면접 및 구술고사
전형명	2025년도 모의논술
해당 대학의 계열(과목) / 문항번호	자연계열 / 문제3
출제 범위	수학과 교육과정 과목명	수학 II, 미적분
	핵심개념 및 용어
예상 소요 시간	36분 / 전체 90분

2. 문항 및 제시문

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

【가】 중심이 원점 [eqn: (0,0)]인 원의 방정식 [eqn: x^2 +y^2 =r^2]를 매개변수 [eqn: t]로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x=r`cost,~~y=r`sint~(0 LEQ t<2 pi )]

-『고등학교 미적분』

【나】 좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: P]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: (x,y)]가 두 함수 [eqn: x=f(t)], [eqn: y=g(t)]로 나타내어질 때, 시각 [eqn: t]에서 점 [eqn: P]의 속력은 [eqn: Sqrt{Left({dx} Over {dt}Right )^2 + Left({dy} Over {dt}Right )^2}]이다.

-『고등학교 미적분』

【다】 사인함수와 코사인함수의 덧셈과 뺄셈 정리는 각각 다음과 같다.

[eqn: sin( alpha PLUSMINUS beta )=sin` alpha `cos` beta Plusminus cos alpha `sin beta]            [eqn: cos( alpha PLUSMINUS beta )=cos` alpha `cos` beta Minusplus sin alpha `sin beta]

-『고등학교 미적분』

【라】 함수 [eqn: f(x)]가 닫힌구간 [eqn: [a,`b]]에서 연속이면 함수 [eqn: f(x)]는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.

-『고등학교 수학 II』

[문제3] 중심이 [eqn: (1,0)]이고 반지름이 [eqn: 1]인 원 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{ P}_1}][eqn: ( 1+cost, ~sin t)]과 중심이 원점 [eqn: rm `O][eqn: (0,0)]이고 반지름이 [eqn: 2]인 원 위를 움직이는 점 [eqn: rm P_2][eqn: (2cos theta (t),~2sin theta (t))]가 있다. 두 원 위의 교점 [eqn: (2,0)]에서 두 원 위를 시계 반대 방향을 따라 움직이는 두 점 [eqn: rm `P _{1},~P _{2}}]의 속도의 비가  [eqn: 1:4]라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: 0 LEQ t<2 pi])

(1)  [eqn: t=t _{0}]에서 두 점 사이의 거리가 최대일 때, [eqn: cos(t _{0})]와 거리를 구하시오.

(2)  [eqn: t=t _{0}]에서 두 점의 위치를 모두 구하시오.

3. 출제의도

원 위를 움직이는 점의 속도를 구할 수 있고, 두 원 위의 점 사이의 거리를 함수로 표현 하여 미분과 삼각함수의 덧셈과 뺄셈 정리를 이용하여 최대 거리를 구할 수 있는지를 평가한다.

4. 출제근거

가) 적용 교육과정 및 학습내용 성취 기준

적용 교육과정	미적분 (2) 미분법 □ 여러 가지 함수의 미분 미적분 (2) 미분법 □ 도함수의 활용 미적분 (2) 미분법 □ 여러 가지 함수의 미분 수학II (2) 미분 □ 도함수의 활용
문항 및 제시문	학습내용 성취 기준
성취기준	[12미적02-08] 매개변수로 나타낸 함수를 미분할 수 있다. [12미적02-14] 속도와 가속도에 대한 문제를 해결할 수 있다. [12미적02-03] 삼각함수의 덧셈정리를 이해한다. [12수학Ⅱ02-08] 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 판정하고 설명할 수 있다.

나) 자료출처

참고자료	도서명	저자	발행처	발행년도	쪽수
고등학교 교과서	고등학교 미적분	홍성복 외 10인	지학사	2020	95,126
	고등학교 미적분	권오남 외 14인	교학사	2020	125
	고등학교 미적분	박교식 외 19인	동아출판	2020	126
	고등학교 미적분	이준열 외 7인	천재교육	2020	66
	고등학교 수학II	이준열 외 9인	천재교육	2020	85
	고등학교 수학II	권오남 외 14인	교학사	2020	90
기타

5. 문항해설

두 원 위를 움직이는 두 점의 속력의 비를 이용하여 [eqn: rm `P _{2}]의 매개변수를 찾는다. 거리함수를 정의하여 도함수와 삼각함수의 덧셈과 뺄셈 정리를 이용하여 극점을 찾는다. 식을 간단히 하여 움직이는 두 점 [eqn: rm P_1, ~P_2]사이의 최대 거리와 좌표를 계산한다.

6. 평가기준

[단계 1] 점 [eqn: rm P _{1}][eqn: (1+cost,sint)][eqn: (0Leq t <2 pi )]의 속력은 [eqn: sqrt {(sin ^{2} `t+cos ^{2} `t)} =1]이다. 속력의 비가 [eqn: 1:4]이므로 점 [eqn: rm P _{2}][eqn: (2cos theta (t),2sin theta (t))]의 속력은 [eqn: 2 sqrt {(sin ^{2} ` theta (t)+cos ^{2} ` theta (t))Left( {d theta } over {dt} Right) ^{2}} =2 LEFT | {d theta } over {dt} RIGHT |]=4가 되어야 한다. 즉 [eqn: LEFT | {d theta } over {dt} RIGHT|=2], 즉 [eqn: theta(t)=2t]가 되며 [eqn: C_2: (2cos 2t , 2sin 2t)]가 된다.

[단계 2] 두 점 사이의 거리를 [eqn: d]라 두면 [eqn: f(t)=d ^{2} =(1+cos`t-2cos2t) ^{2} +(sint-2sin2t) ^{2}] [eqn: =6+2cost-4cos2t-4cos2t`cost-4sin2t`sint] 이다.

삼각함수의 합의 공식 [eqn: cos(t-2t)=cos(2t)cost+sin2t`sint=cos(-t)]을 이용하여 [eqn: f(t)=6-2cost-4cos2t]를 얻는다. [eqn: cos2t=2cos^2 t-1]을 대입하면 [eqn: f(t)=10-2 cos t -8cos^ 2 t]가 된다.

[단계 3] 함수 [eqn: f(t)]를 미분하면 [eqn: f prime (t)=2sint+16sint`cost]이며 [eqn: sint=0,``cost=- {1} over {8}]일 때 극점을 갖는다.

[eqn: sin t=0]일 때 [eqn: cos t=1]또는[eqn: -1]이며 [eqn: f(t)=0], 또는 [eqn: 4]이며 [eqn: cos t =- 1 over 8]일 때, [eqn: f(t)= {81 over 8}]이 된다.

[단계 4] 그러므로 [eqn: cos (t_0 )= - {1} over {8}], [eqn: cos2t _{0} =2cos ^{2} t _{0} -1=- {31} over {32}] 이고 최대 거리는 [eqn: d= 9 over {2 sqrt{2}}]이다.

[단계 5] [eqn: sin t=Plusminussqrt{1-cos^2 t }=Plusminus sqrt{63} over 8],  [eqn: sin2t=2sint`cost=Minusplus sqrt{63} over 32], [eqn: cos 2t =2 cos^2 t-1= - 31 over 32]이다.

그러므로, [eqn: t=t_0]일 때 점의 위치는 [eqn: rm P _{1}][eqn: left( {7} over {8} , {sqrt {63}} over {8} right)], [eqn: rm P_2][eqn: left(- {31} over {16} ,- {sqrt {63}} over {16} right)] 또는  [eqn: rm P _{1}][eqn: left( {7} over {8} ,- {sqrt {63}} over {8} right)], [eqn: rm P_2][eqn: ``left(- {31} over {16} ,` {sqrt {63}} over {16} right)]  이다.

하위문항	채점 기준	배점
	[1단계]부터 [5단계]까지 모든 단계를 논증이 매끄럽게 작성한 경우	S
	[1단계]부터 [5단계]까지 모두 작성하고 네 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	A
	[1단계]부터 [5단계] 중 네 단계를 작성하고 세 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	B
	[1단계]부터 [5단계] 중 세 단계를 작성하고 두 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	C
	[1단계]부터 [5단계] 중 두 단계를 작성하고 한 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	D
	[1단계]부터 [5단계] 중에서 어느 한 단계만 작성한 경우	E
	어느 단계의 일부분도 논증이 매끄럽게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우	F

7. 예시답안

(1)  점 [eqn: rm P _{1}][eqn: (1+cost,sint)][eqn: (0 LEQ t<2 pi )]의 속력은 [eqn: sqrt {(sin ^{2} `t+cos ^{2} `t)} =1]1이다. 속력의 비가 [eqn: 1:4]이므로 점 [eqn: rm P _{2}][eqn: (2cos theta (t),2sin theta (t))]의 속력은 [eqn: 2 sqrt {(sin ^{2} ` theta (t)+cos ^{2} ` theta (t))( {d theta } over {dt} ) ^{2}} =2 LEFT | {d theta } over {dt} RIGHT |]=4가 되어야 한다. 즉 [eqn: LEFT | {d theta } over {dt} RIGHT|=2],  [eqn: theta(t)=2t]가 되며 점 [eqn: rm P_2][eqn: (2cos2t,2sin2t)]가 된다. 두 점 [eqn: rm P_1, ~P_2] 사이의 거리를 [eqn: d]라 두면 [eqn: f(t)=d ^{2} =(1+cos`t-2cos2t) ^{2} +(sint-2sin2t) ^{2}][eqn: =6+2cost-4cos2t-4cos2t`cost-4sin2t`sint] 이다.

삼각함수의 합의 공식[eqn: cos(t-2t)=cos(2t)cost+sin2t`sint=cos(-t)]을 이용하여 [eqn: f(t)=6-2cost-4cos2t]를 얻는다. [eqn: cos2t=2cos^2 t-1]을 대입하면 [eqn: f(t)=10-2 cos t -8cos^ 2 t]가 된다. 함수 [eqn: f(t)]를 미분하면 [eqn: f prime (t)=2sint+16sint`cost]이며 [eqn: sint=0,``cost=- {1} over {8}]일 때 극점을 갖는다.

[eqn: sin t=0]일 때 [eqn: cos t=1]또는[eqn: -1]이며 [eqn: f(t)=0], 또는 [eqn: 4]이며 [eqn: cos t =- 1 over 8]일 때, [eqn: f(t)= {81} over {8}]이 된다.

그러므로 [eqn: cos (t_0 )= - {1} over {8}], 최대 거리는 [eqn: d= {9sqrt {2}} over {4 }]이다.

(2) [eqn: sint= +- sqrt {1-cos ^{2} t} = +- {sqrt {63}} over {8}],  [eqn: sin2t=2sint`cost= -+ {sqrt {63}} over {32}], [eqn: cos 2t =2 cos^2 t-1= - 31 over 32]이다.

그러므로, [eqn: t=t_0]일 때 점의 위치는 [eqn: rm P _{1}][eqn: left( {7} over {8} , {sqrt {63}} over {8} right)], [eqn: rm P_2][eqn: left(- {31} over {16} ,- {sqrt {63}} over {16} right)] 또는  [eqn: rm P _{1}][eqn: left( {7} over {8} ,- {sqrt {63}} over {8} right)], [eqn: rm P_2][eqn: ``left(- {31} over {16} ,` {sqrt {63}} over {16} right)]  이다.