자연계열 논술고사

1

1. 일반정보

유형	☑ 논술고사 □ 면접 및 구술고사
전형명	논술전형
해당 대학의 계열(과목) / 문항번호	자연계열 / 문제 1
출제 범위	수학과 교육과정 과목명	수학 I, 미적분
	핵심개념 및 용어	수열의 합, 삼각함수의 뜻과 덧셈정리, 속도의 크기와 거리
예상 소요 시간	40분

2. 출제 의도

이 문항은 일정한 규칙에 따라 회전하는 여러 개의 나무막대가 모터로 연결된 로봇팔의 운동을 수학적으로 표현함으로써 로봇팔의 끝부분이 움직인 거리, 속도의 크기 등을 구하는 문제로, 실제 공학적 상황을 기반으로 지원자의 수학적 사고력과 문제 해결 능력을 종합적으로 평가한다. 지원자는  회전하는 물체들이 서로 연결되어 있을 때 물체의 위치를 좌표평면상에서 시각에 대한 함수로 표현해야 하며, 이 과정에서 삼각함수의 활용, 수열의 합, 정적분, 그리고 여러가지 함수의 미분 등에 대한 이해가 통합적으로 요구된다.

이러한 문항 구성은 단편적인 공식 적용을 벗어나, 수학을 이용하여 실제 현상을 해석하고 예측할 수 있는 능력을 평가하는 데 목적이 있다. 문제의 초반부는 비교적 간단한 두 막대의 운동을 분석하도록 하여 기본 개념에 대한 이해도를 확인하고, 이후 단계에서는 [eqn: 100]번째 막대의 끝점의 위치를 분석함으로써 논리적 추론력과 일반화 능력, 수학적 표현력을 평가한다.

3. 문항 해설

(1) 삼각함수를 이용하여 회전하는 나무막대로 이루어진 로봇팔의 끝점([eqn: rm P_2])의 좌표를 시각에 대한 함수로 나타낼 수 있다.

(2) 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 주어진 등식이 성립함을 보이고 이를 이용하여 [eqn: f` prime (t) ^{2} +g` prime LEFT ( t RIGHT ) ^{2} =16` pi ^{2`} `cos ^{2} pi t]이 성립함을 보인다.

(3) 문항(2)로부터 속도의 크기를 구하고 이를 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 정적분하여 로봇팔의 끝점([eqn: rm P_2])이 움직인 거리를 구한다.

(4) 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 주어진 등식이 성립함을 보이고 이를 이용하여 나머지 등식이 성립함을 보인다.

(5) 문항(4)의 등식을 이용하여 [eqn: rm P_100]의 시각 [eqn: t]에서의 속도의 크기를 구하고 속도가 [eqn: 0]이 되기 위한 조건을 이용하여 속도의 크기가 [eqn: 0]이 되는 시각의 개수를 구한다.

4. 예시 답안

(1) 첫 번째 나무막대의 길이는 [eqn: 1`]이므로 점 [eqn: rm P_1]는 중심이 [eqn: rm O]이며 반지름이 [eqn: 1]인 원 위에 있는 점이며, 막대가 [eqn: x]축과 이루는 각을 [eqn: theta]라 하면 점 [eqn: rm P_1]의 위치 [eqn: (x,y)]는 [eqn: x=cos `theta, `` y=sin `theta `]이다. 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: theta=0]이며 나무막대가 [eqn: 1]초에 한 바퀴 회전하므로 시각 [eqn: t]에서 [eqn: theta]는 [eqn: theta=2pit]이다. 점 [eqn: rm P _{2}]는 중심이 [eqn: rm P_1]이며 반지름이 [eqn: 1/2]인 원 위에 있는 점이며, 두 번째 나무막대가 [eqn: x]축과 이루는 각은 [eqn: 2theta]이므로 점 [eqn: rm P _{2}]의 위치 [eqn: (x,y)]는 [eqn: x=cos` theta + {1} over {2} cos`2theta,``y=sin` theta + 1 over 2 sin`2theta ``]이다. 따라서

[eqn: f(t)= `cos`2 pi t+ {1} over {2} `cos`4 pi t],  [eqn: g(t)=sin`2 pi t+ {1} over {2} `sin`4 pi t]

(2) 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여

[eqn: cos`2 alpha =cos LEFT ( alpha + alpha RIGHT ) =cos` alpha ``cos alpha -sin alpha ``sin alpha =cos ^{2`} alpha -sin ^{2} alpha]

[eqn: sin`2 alpha =sin LEFT ( alpha + alpha RIGHT ) =cos` alpha ``sin` alpha +sin` alpha ``cos` alpha =2sin alpha ``cos alpha]

문항 (1)로부터 [eqn: `f prime (t _{`} )=-2 pi (sin`2 pi t+sin`4 pi t),```g prime (t)=2 pi (cos`2 pi t+cos`4 pi t)``]이므로, 위의 두 등식과 [eqn: cos^2 alpha+sin^2 alpha =1`]임을 이용하면,

[eqn: {f prime (t) ^{2`} +g prime (t) ^{2}} &=4 pi^2 left( (sin`2 pi t+ sin `4 pi t)^2 + (cos`2 pi t+ cos `4 pi t)^2 right) # & =4 pi^2 ` left (2+2`cos`2 pi t``cos`4 pi t+2`sin`2 pi t``sin`4 pi t right )# & =4 pi^2 ` left (2+2`cos`2 pi t`` LEFT ( cos ^{2} 2 pi t RIGHT - sin ^{2} 2 pi t)+2`sin`2 pi t`` LEFT ( 2sin`2 pi t``cos2 pi t RIGHT )right)# & =4 pi^2 left (2+2(cos ^{2} 2 pi t+sin ^{2} 2 pi t)cos`2 pi t right)# & =4 pi^2 left (2+2cos`2 pi t right)# & =4 pi^2 left (2+2(cos ^{2} pi t-sin ^{2} pi t)right)# & =4 pi^2 left (2(cos ^{2} pi t+sin ^{2} pi t)+2(cos ^{2} pi t-sin ^{2} pi t)right)# & =4 pi^2 left (4cos ^{2} pi t right)# & =16 pi^2 `cos^2` pi t]

(3) 문항 (2)로부터 점 [eqn: rm P_2]의 시각 [eqn: t]에서의 속도의 크기는

[eqn: sqrt {f prime (t) ^{2`} +g prime (t) ^{2}} & =4 pi `vert `cos` pi t vert]

따라서 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 점 [eqn: rm P_2]가 움직인 거리는

[eqn: int _0 ^1 {sqrt {f prime (t) ^{2`} +g prime (t) ^{2}}} dt & = int _{0} ^{1/2} {} 4 pi `cos` pi t``dt+ int _{1/2} ^{1} {} 4 pi (-`cos` pi t)``dt # &=2 int _{0} ^{1/2} {} 4 pi `cos` pi t``dt=`8`sin` pi t` bigg vert _{0}^{1/2} =8]

(4) 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면

[eqn: cos( alpha - beta )-cos( alpha + beta ) & =cos` alpha `cos` beta +sin` alpha ``sin` beta -(cos` alpha ``cos` beta -sin` alpha ``sin` beta )# & =2`sin` alpha ``sin` beta][eqn: sin( alpha - beta )-sin( alpha + beta ) & =sin` alpha `cos` beta -cos` alpha ``sin` beta -(sin` alpha ``cos` beta +cos` alpha ``sin` beta )# & =-2`cos` alpha ``sin` beta]

위의 두 등식을 이용하면,

[eqn: sum _{k=1} ^{n} sin`kx``sin` {x} over {2} & = sum _{k=1} ^{n} {1} over {2} LEFT ( cos` LEFT ( k- {1} over {2} RIGHT ) x- cos` LEFT ( k+ {1} over {2} RIGHT ) x RIGHT)# & = {1} over {2} LEFT ( LEFT ( cos` {x} over {2} -cos` {3x} over {2} RIGHT ) + LEFT ( cos` {3x} over {2} -cos` {5x} over {2} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( cos` LEFT ( n- {1} over {2} RIGHT ) x-cos` LEFT ( n+ {1} over {2} RIGHT ) x RIGHT ) RIGHT )# & = {1} over {2} LEFT ( cos` {x} over {2} -cos` LEFT ( n+ {1} over {2} RIGHT ) x RIGHT )# & =sin {(n+1)x} over {2} ``sin {nx} over {2}]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} cos`kx``sin` {x} over {2} & =- sum _{k=1} ^{n} {1} over {2} LEFT ( sin` LEFT ( k- {1} over {2} RIGHT ) x-sin` LEFT ( k+ {1} over {2} RIGHT ) x RIGHT )# & =- {1} over {2} LEFT ( LEFT ( sin` {x} over {2} -sin` {3x} over {2} RIGHT ) + LEFT ( sin` {3x} over {2} -sin` {5x} over {2} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( sin` LEFT ( n- {1} over {2} RIGHT ) x-sin` LEFT ( n+ {1} over {2} RIGHT ) x RIGHT ) RIGHT )# & =- {1} over {2} LEFT ( sin` {x} over {2} -sin` LEFT ( n+ {1} over {2} RIGHT ) x RIGHT )# & =cos {(n+1)x} over {2} ``sin {nx} over {2}]

(5) 점 [eqn: rm P _{it k}]는 중심이 [eqn: rm P_{it k-1}]이며 반지름이 [eqn: 1/k]인 원 위에 있는 점이며, [eqn: k]번째 나무막대가 [eqn: x]축과 이루는 각은 [eqn: 2pikt]이므로, 점 [eqn: rm P _{100}]의 위치 [eqn: (x,y)]를 [eqn: x=f(t),``y=g(t)]라 하면,

[eqn: f(t)=sum_k=1^100 { 1} over {k } cos `2pikt, `````g(t)=sum_k=1^100 { 1} over {k } sin `2pikt```]이며,

[eqn: f prime (t)=-2 pi sum _{k=1} ^{100} sin`2 pi kt,`````g prime (t)=2 pi sum _{k=1} ^{100} cos`2 pi kt```]이다.

(i) [eqn: t]가 정수일 때, [eqn: sin`2pi kt=0, ``cos`2pik t =1`]이므로, [eqn: f prime (t)=0,```g prime (t)=200 pi], 따라서 속도의 크기는 [eqn: 200 pi ``]이다.

(ii) [eqn: t]가 정수가 아닐 때 문항(4)의 등식에서 [eqn: x=2pi t]라 하면, [eqn: sin x over 2 =sin `pi t neq 0]이므로,

[eqn: f prime (t)=-2 pi {sin101 pi t``sin`100 pi t} over {sin` pi t}], [eqn: g prime (t)=2 pi {cos101 pi t``sin`100 pi t} over {sin` pi t}```]이다. 따라서

[eqn: f prime (t) ^{2`} +g prime (t) ^{2} = (2pi)^2 `{sin ^{2} `100 pi t} over {sin ^{2} ` pi t}```]이며, 속도의 크기는 [eqn: 2 pi LEFT | {sin`100 pi t} over {sin` pi t} RIGHT |]이다.

[eqn: 0< t LEQ 1]의 구간에서 [eqn: t=1]일 때는 속도의 크기가 [eqn: 0]이 아니므로, 속도의 크기가 [eqn: 0]이 되는 시각은 구간 [eqn: 0<t<1]에서 [eqn: sin`100pi t=0]의 해이다. 정수 [eqn: m]에 대해 [eqn: 100t=m]이라 두면 [eqn: t=m/100] 이므로, [eqn: t=1/100, ``2/100, ``cdots, ``99/100]에서 속도의 크기가 0이 된다. 따라서, 속도의 크기가 [eqn: 0]이 되는 시각은 총 [eqn: 99]개이다.