홍익대학교 2026학년도 수시모집

자연계열 논술고사

지원학과(부)	가번호	성 명

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4. 본 문제지는 총 2장입니다.

5. 총 1문제가 있으며 문제 1에 30점을 배점합니다.

6. 문제 1번은 (1) ~ (5)로 구성됩니다.

문제 1	(30점)

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홍익이는 과학 수행평가 프로젝트로 나무막대와 모터를 이용하여 평면에서 회전하는 로봇팔을 만들었다. 우선 길이가 [eqn: 1``]m인 첫 번째 나무막대의 한쪽 끝을 테이블에 고정되어 있는 모터에 연결하고, 그 막대의 반대편 끝은 길이가 [eqn: 1/2```]m인 두 번째 나무막대의 한쪽 끝과 모터로 연결하였다. 전원을 연결하면 두 개의 모터가 동시에 작동하여 일정한 속도로 반시계 방향으로 [eqn: 1]초에 한 바퀴씩 계속 회전한다. 이때 회전하는 두 개의 나무막대는 서로 부딪히지 않고 회전한다. 첫 번째 나무막대는 테이블의 고정점을 기준으로 [eqn: 1]초에 한 바퀴씩 회전한다. 두 번째 나무막대는 첫 번째 나무막대와 연결된 부분을 기준으로 [eqn: 1]초에 한 바퀴씩 회전하지만, 첫 번째 나무막대도 동시에 회전하기 때문에 테이블을 기준으로 하면 [eqn: 1]초에 두 바퀴를 회전하는 것을 관찰하였다.

다음으로 이러한 로봇팔의 움직임을 일반화하여 아래와 같은 방식으로 나무막대를 계속 이어나갔다. [eqn: k``]번째 나무막대는 길이는 [eqn: 1/k```]m이고 그 막대의 한쪽 끝은 [eqn: k-1``]번째 막대의 끝에 모터로 연결이 되어 있다. 그리고 [eqn: k``]번째 나무막대는 [eqn: k-1``]번째 막대와 연결된 부분을 기준으로 [eqn: 1]초에 한 바퀴씩 계속 서로 부딪히지 않고 회전한다. 홍익이는 로봇팔의 운동을 이해하기 위해 좌표평면을 사용하여 로봇팔의 연결부 위치를 아래와 같이 나타내었다.

① 첫 번째 나무막대가 고정된 테이블의 고정점을 원점 [eqn: rm O]로 하고 첫 번째 막대의 반대편 끝점을 [eqn: rm P _{1}], 두 번째 막대의 끝점을 [eqn: rm P _{2}], 같은 방식으로 [eqn: k``]번째 나무막대의 끝점을 [eqn: rm P _{it k}]라 한다. <그림 1, 2>

② 시각 [eqn: t=0]일 때 [eqn: rm P _{ it k}]의 위치는 [eqn: LEFT ( sum _{n=1} ^{k} {1} over {n} ,``0 RIGHT )]이다. <그림 1>

③ 모든 모터가 [eqn: t]초간 회전했을 때 각 점의 위치는 <그림 2>와 같다.

<그림 1>	<그림 2>

(1) 점 [eqn: rm P _{2}]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: LEFT ( x,``y RIGHT )]가 [eqn: x=f LEFT ( t RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( t RIGHT )]로 나타내어질 때, [eqn: f(t)], [eqn: g(t)]를 각각 구하시오.

(2) 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 등식

[eqn: sin `2 alpha =2`sin` alpha ``cos` alpha]

[eqn: cos `2 alpha =cos ^{2} alpha -sin ^{2} alpha]

이 성립함을 보이고, 이를 이용하여 문항(1)의 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )], [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]에 대해 다음 등식이 성립함을 보이시오.

[eqn: f` prime (t) ^{2} +g` prime LEFT ( t RIGHT ) ^{2} =16` pi ^{2`} `cos ^{2} pi t]

(3) 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 점 [eqn: rm P _{2}]가 움직인 거리를 구하시오.

(4) 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 등식

[eqn: cos LEFT ( alpha - beta RIGHT ) -cos LEFT ( alpha + beta RIGHT ) `=`2`sin` alpha ``sin` beta]

[eqn: sin LEFT ( alpha - beta RIGHT ) -sin LEFT ( alpha + beta RIGHT ) `=`-2`cos` alpha ``sin` beta]

이 성립함을 보이고, 이를 이용하여 다음 등식이 성립함을 보이시오.

[eqn: sum _{k=1} ^{n} sin`kx```sin {x} over {2} `=`sin {LEFT ( n+1 RIGHT ) x} over {2} ``sin {nx} over {2}]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} cos`kx```sin {x} over {2} `=`cos {LEFT ( n+1 RIGHT ) x} over {2} ``sin {nx} over {2}]

(5) 문항(4)의 등식을 활용하여 점 [eqn: rm P_100]의 시각 [eqn: t]에서의 속도의 크기를 구하고, 반닫힌 구간 [eqn: LEFT ( ``0,``1` RIGHT ]]에서 점 [eqn: rm P _{100}]의 속도의 크기가 [eqn: 0]이 되는 시각은 모두 몇 개인지 구하시오.